C语言

进制

进制转换

10 进制转 2 进制

除 2 取余, 余数倒序; 得到的序列就是二进制表示形式
例如: 将十进制(97) 10 转换为二进制数

2 进制转 10 进制

每一位二进制进制位的值 * 2 的当前索引次幂; 再将所有位求出的值相加
例如: 将二进制 01100100 转换为十进制

01100100
索引从右至左, 从零开始
第0位: 0 * 2^0 = 0;
第1位: 0 * 2^1 = 0;
第2位: 1 * 2^2 = 4;
第3位: 0 * 2^3 = 0;
第4位: 0 * 2^4 = 0;
第5位: 1 * 2^5 = 32;
第6位: 1 * 2^6 = 64;
第7位: 0 * 2^7 = 0;
最终结果为: 0 + 0 + 4 + 0 + 0 + 32 + 64 + 0 = 100

2 进制转 8 进制

三个二进制位代表一个八进制位, 因为 3 个二进制位的最大值是 7，而八进制是逢 8 进 1
例如: 将二进制 01100100 转换为八进制数

从右至左每3位划分为8进制的1位, 不够前面补0
001 100 100
第0位: 100 等于十进制 4
第1位: 100 等于十进制 4
第2位: 001 等于十进制 1
最终结果: 144就是转换为8进制的值

2 进制转 16 进制
- 四个二进制位代表一个十六进制位，因为 4 个二进制位的最大值是 15，而十六进制是逢 16 进 1
- 例如: 将二进制 01100100 转换为十六进制数
```
从右至左每4位划分为16进制的1位, 不够前面补0
0110 0100
第0位: 0100 等于十进制 4
第1位: 0110 等于十进制 6
最终结果: 64就是转换为16进制的值
```

其它进制转换为十进制

系数 * 基数 ^ 索引之和

    十进制           -->          十进制
   12345   =  10000 + 2000 + 300 + 40 + 5
           =  (1 * 10 ^ 4)  + (2 * 10 ^ 3) + (3 * 10 ^ 2) + (4 * 10 ^ 1) + (5 * 10 ^ 0)
           =  (1 * 10000) + (2 + 1000) + (3 * 100) + (4 * 10) + (5 * 1)
           =  10000 + 2000 + 300 + 40 + 5
           =  12345

   规律:
   其它进制转换为十进制的结果 = 系数 * 基数 ^ 索引 之和

   系数: 每一位的值就是一个系数
   基数: 从x进制转换到十进制, 那么x就是基数
   索引: 从最低位以0开始, 递增的数

   二进制        -->      十进制
   543210
   101101 = (1 * 2 ^ 5) + (0 * 2 ^ 4) + (1 * 2 ^ 3) + (1 * 2 ^ 2) + (0 * 2 ^ 1) + (1 * 2 ^ 0)
          = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
          = 45

   八进制        -->     十进制
   016  =   (0 * 8 ^ 2) + (1 * 8 ^ 1) + (6 * 8 ^ 0)
        =    0  + 8 + 6
        =    14

   十六进制      -->      十进制
   0x11f =  (1 * 16 ^ 2) + (1 * 16 ^ 1) + (15 * 16 ^ 0)
         =   256  + 16 + 15
         =   287

十进制快速转换为其它进制

十进制除以基数取余, 倒叙读取

   十进制        -->     二进制
        -->    1100100
/ 2   = 50     0
/ 2   = 25     0
/ 2   = 12     1
/ 2   = 6      0
 / 2   = 3      0
 / 2   = 1      1
 / 2   = 0      1


   十进制        -->     八进制
        -->     144
/ 8    = 12    4
/ 8    = 1     4
 / 8    = 0     1

   十进制        -->     十六进制
        --> 64
/ 16   =  6    4
 / 16   =  0    6

十进制小数转换为二进制小数

整数部分,直接转换为二进制即可
小数部分,使用"乘 2 取整，顺序排列"
- 用 2 乘十进制小数,可以得到积,将积的整数部分取出,再用 2 乘余下的小数部分,直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止
- 然后把取出的整数部分按顺序排列起来, 即是小数部分二进制
最后将整数部分的二进制和小数部分的二进制合并起来, 即是一个二进制小数
例如: 将 12.125 转换为二进制

// 整数部分(除2取余)
  12
/  2
------
   6    // 余0
/  2
------
   3    // 余0
/  2
------
   1   // 余1
/  2
------
  0   // 余1
//12 --> 1100

// 小数部分(乘2取整数积)
  0.125
*     2
  ------
   0.25  //0
   0.25
*     2
  ------
    0.5  //0
    0.5
*     2
  ------
    1.0  //1
    0.0
// 0.125 --> 0.001

// 12.8125 --> 1100.001

二进制小数转换为十进制小数

整数部分按照二进制转十进制即可
小数部分从最高位开始乘以 2 的负 n 次方, n 从 1 开始
例如: 将 1100.001 转换为十进制

// 整数部分(乘以2的n次方, n从0开始)
0 * 2^0 = 0
0 * 2^1 = 0
1 * 2^2 = 4
1 * 2^3 = 8
 // 1100 == 8 + 4 + 0 + 0 == 12

// 小数部分(乘以2的负n次方, n从0开始)
0 * (1/2) = 0
0 * (1/4) = 0
1 * (1/8) = 0.125
// .100 == 0 + 0 + 0.125 == 0.125

// 1100.001  --> 12.125

练习:
- 将 0.8125 转换为二进制
- 将 0.1101 转换为十进制

  0.8125
*      2
--------
   1.625  // 1
   0.625
*      2
--------
    1.25 // 1
    0.25
*      2
--------
     0.5 // 0
*      2
--------
    1.0 // 1
    0.0

// 0. 8125  --> 0.1101
1*(1/2) = 0.5
1*(1/4)=0.25
0*(1/8)=0
1*(1/16)=0.0625

//0.1101 --> 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625 == 0.8125

原码反码补码

计算机只能识别 0 和 1, 所以计算机中存储的数据都是以 0 和 1 的形式存储的
数据在计算机内部是以补码的形式储存的, 所有数据的运算都是以补码进行的
正数的原码、反码和补码
- 正数的原码、反码和补码都是它的二进制
- 例如: 12 的原码、反码和补码分别为
  - 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100
  - 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100
  - 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100
负数的原码、反码和补码
- 二进制的最高位我们称之为符号位, 最高位是 0 代表是一个正数, 最高位是 1 代表是一个负数
- 一个负数的原码, 是将该负数的二进制最高位变为 1
- 一个负数的反码, 是将该数的原码除了符号位以外的其它位取反
- 一个负数的补码, 就是它的反码 + 1
- 例如: -12 的原码、反码和补码分别为
```
  0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100 // 12二进制
  1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100 // -12原码
  1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0011  // -12反码
  1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0100 // -12补码
```

负数的原码、反码和补码逆向转换

反码 = 补码-1
原码= 反码最高位不变, 其它位取反

1111 1111 1111 1111 1111 1111 0100 // -12补码
1111 1111 1111 1111 1111 1111 0011  // -12反码
0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100 // -12原码

为什么要引入反码和补码
- 在学习本节内容之前,大家必须明白一个东西, 就是计算机只能做加法运算, 不能做减法和乘除法, 所以的减法和乘除法内部都是用加法来实现的
  - 例如: 1 - 1, 内部其实就是 1 + (-1);
  - 例如: 3 * 3, 内部其实就是 3 + 3 + 3;
  - 例如: 9 / 3, 内部其实就是 9 + (-3) + (-3) + (-3);
- 首先我们先来观察一下,如果只有原码会存储什么问题
  - 很明显, 通过我们的观察, 如果只有原码, 1-1 的结果不对
```
  // 1 + 1
   0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 // 1原码
  +0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 // 1原码
   ---------------------------------------
   0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010  == 2

   // 1 - 1; 1 + (-1);
   0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 // 1原码
  +1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 // -1原码
   ---------------------------------------
   1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 == -2
```

正是因为对于减法来说,如果使用原码结果是不正确的, 所以才引入了反码
- 通过反码计算减法的结果, 得到的也是一个反码;
- 将计算的结果符号位不变其余位取反,就得到了计算结果的原码
- 通过对原码的转换, 很明显我们计算的结果是-0, 符合我们的预期

  // 1 - 1; 1 + (-1);
  0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 // 1反码
  1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110   // -1反码
  ---------------------------------------
  1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 // 计算结果反码
  1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 // 计算结果原码 == -0

虽然反码能够满足我们的需求, 但是对于 0 来说, 前面的负号没有任何意义, 所以才引入了补码
- 由于 int 只能存储 4 个字节, 也就是 32 位数据, 而计算的结果又 33 位, 所以最高位溢出了,符号位变成了 0, 所以最终得到的结果是 0

  // 1 - 1; 1 + (-1);
  0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 // 1补码
  1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111   // -1补码
  ---------------------------------------
 10000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 // 计算结果补码
  0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 //  == 0

进制​

进制转换​

十进制小数转换为二进制小数​

二进制小数转换为十进制小数​

原码反码补码​

进制

进制转换

十进制小数转换为二进制小数

二进制小数转换为十进制小数

原码反码补码