函数、极限、连续

本章提到的符号含义如下：

$\{ \}$ 表集合、定义域或值域

• $A = \{1, 2, 3\}$ 表示集合 $A$ 包含元素 $1, 2, 3$
• $f(x) = \{y | y = x^2, x \in R\}$ 表示函数 $f(x)$ 的值域是所有 $x^2$ 的值，其中 $x$ 是实数。

$\to$ 表逻辑关系，

• 如 $a \to b$ 表示 $a$ 推导出 $b$.

• $f:X\to Y$ 表示 $f$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的一个映射。

• 不同场景还可表示：变换、趋向、收敛、极限等。

$|$ 表“使得”或“满足”，$R_y = \{y | y \geq 0\}$,表示一个实数集合 $R_y$，其中包含所有满足 $y \geq 0$ 条件的实数 $y$。

$\in$ 表属于，如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，记作 $a \in A$.

$\subseteq$ 表子集，如果 A 是集合 B 的子集(A 与 B 可以相等), 记作 $A \subseteq B$.

$\subset$ 表真子集， 如果 A 是集合 B 的真子集(A 与 B 不相等), 记作 $A \subset B$.

函数

映射的概念

定义：设 $X$ 和 $Y$ 是两个非空集合，

如果存在一个对应关系 $f$，使得对于 $X$ 中的任意一个元素 $x$，在 $Y$ 中都有唯一确定的元素 $y$ 和它对应，

那么就称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的一个映射，记作 $f:X\to Y$，

其中，$y$ 称为 $x$ 在映射 $f$ 下的像，记作 $y=f(x)$。而 $X$ 中的元素 $x$ 称为 $y$ 的原像。

并称 $X$ 为$f$的定义域，记作 $D_f$；

$Y$ 为$f$的值域，记作 $R_f$。

$R_f = f(X)=\{f(x) | x\in D_f\}$

构成一个映射的条件是：

1. 集合 $X$ ，即定义域 $D_f = X$
2. 集合 $Y$ ，即值域 $R_f \subseteq Y$
3. 对应法则$f$，对于 $X$ 中的任意一个元素 $x$，在 $Y$ 中都有唯一确定的元素 $y$ 和它对应

注意：

对每个 $x \in X$，$f(x)$ 必须是确定唯一与之对应的

对于 $y \in Y$，$y$ 可以有多个原像。

例如，$f(x)=x^2$，$y=1$ 的原像可以是 $x=1$ 或 $x=-1$。

值域 $R_f$ 是 $Y$ 的子集,即 $R_f \subseteq Y$，而不一定是 $R_f = Y$

例题1

设 $f(x):R \to R$，对每个$x \in R$, $f(x)=x^2$。

显然，$f$ 是一个映射。$f$ 的定义域 $D_f=R$。 值域 $R_f=\{y | y \geq 0\}$，它是 $R$ 的真子集，对于$R_f$中的每一个$y$（除$y=0$外的），它有两个原像，分别是 $x$ 和 $-x$。
例如，$y=4$ 有两个原像 $x=2$ 和 $x=-2$。

例题2

例题3

逆映射与复合映射

函数的概念

极限

连续

导数

假设有一辆小电动车，装有一根透明的长管。管子的中点代表零，两端分别象征正无穷和负无穷，管内静置着一颗小球。当车辆运动小球也会跟着运动，小球的数值就是导数。

• 平直道路：当车辆在平坦路面上行驶时，小球始终保持在零点位置。
• 爬坡下坡：上坡时，由于斜度影响，小球逐渐向正无穷移动；下坡时则向负无穷滑动。
• 悬崖处：如果电动车遇到悬崖直接坠落，这代表函数在此处不连续，也就是不可导。
• 起伏道路：当车辆行驶在起伏不断的路面上时，小球的运动轨迹类似波浪。这种变化与三角函数之间的关系异曲同工：例如，sin 的导数变为 cos。